近親者を亡くされたときには、喪に服する意味で年賀状を差し出すのを控えます。その場合に喪中ハガキの挨拶状を送る習慣があります。

送付の時期は、なるべく十二月初旬に到着するようにします。そのハガキの内容には、
いつ誰が亡くなったかを記載し、 「喪中につき年末年始のご挨拶を遠慮申し上げます」等の慣例的な書き出しで始め、儀礼的な慣用句だけを用います。
近況や個人的なメッセージ等は書き添えません。

キリスト教では「死を忌む」という習慣がありませんので、通常通りクリスマスカードを出したりもらったりして構いません。
ただし、日本の日常習慣としては、喪中ハガキを出すことが多いようです。